Найдите значение (2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x при x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала подставим напрямую. При $x=1$:

   $(2+3)^{2}-(2-1)^{2}-6=5^{2}-1^{2}-6=25-1-6=18.$

   Это даёт ответ, но скрывает структуру выражения — а именно она помогает избежать ошибок в вычислениях.

2. 2

   Рассмотрим разность квадратов. Первые два слагаемых имеют вид $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$, где $A=2x+3$, $B=2x-1$:

   $A+B=4x+2,\qquad A-B=(2x+3)-(2x-1)=4.$

   $x$ сокращается в $A-B$, поэтому разложение здесь особенно удобно.

3. 3

   Упростим всё выражение.

   $(4x+2)(4)-6x=16x+8-6x=10x+8.$

   Исходное выражение, похожее на квадратное, на самом деле линейное — члены с $4x^{2}$ сократились.

4. 4

   Подставим x=1 в упрощённую форму.

   $10(1)+8=18,$

   что совпадает с прямой подстановкой.

5. 5

   Проверим ещё одну точку для надёжности. При $x=3$ исходное выражение даёт $(9)^{2}-(5)^{2}-18=81-25-18=38$, а упрощённая форма $10(3)+8=38$ ✓. Так как $10x+8$ совпадает с исходным выражением хотя бы в двух точках, а обе функции — многочлены не выше первой степени после сокращения, значит, это одна и та же функция.