Решите неравенство (2x − 5)/4 < (3x − 3)/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Умножаем на наименьшее общее кратное знаменателей. $\operatorname{lcm}(4,3) = 12$. Так как $12 > 0$, направление неравенства сохраняется — это единственное, чем неравенство отличается от уравнения, и проблемой оно становится только при отрицательном множителе.

   $12 \cdot \frac{2x-5}{4} < 12 \cdot \frac{3x-3}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3(2x-5) < 4(3x-3)$

2. 2

   Раскрываем скобки в обеих частях.

   $6x - 15 < 12x - 12$

3. 3

   Собираем x там, где коэффициент больше. Вычитание $6x$ оставляет коэффициент положительным, поэтому менять знак неравенства позже не придётся:

   $-15 < 6x - 12$

4. 4

   Выражаем x.

   $-15 + 12 < 6x \quad\Longrightarrow\quad -3 < 6x \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{2}$

5. 5

   Проверяем границу и по точке с каждой стороны. При $x = -\tfrac12$: слева $= \tfrac{-6}{4} = -1.5$, справа $= \tfrac{-4.5}{3} = -1.5$ — равенство, значит граничная точка справедливо исключена. При $x = 0$: $-1.25 < -1$ — верно. При $x = -1$: $-1.75 < -2$ — неверно. Множество решений: $\left(-\tfrac12,\ \infty\right)$.