Решите уравнение 3x² + 5x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем коэффициенты. Сравнивая со стандартным видом $ax^{2}+bx+c=0$:

   $a=3,\qquad b=5,\qquad c=-6$

   Обратите внимание: $c=-6$ сохраняет знак минус — аккуратный перенос этого знака в дискриминант и есть ключевой момент задачи.

2. 2

   Сначала считаем дискриминант.

   $\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(3)(-6)=25+72=97$

   Два минуса дают в слагаемом $-4ac$ плюс $72$. Так как $\Delta=97>0$, вещественных корня два, но $97$ — простое число, значит это не полный квадрат, корни иррациональны и разложения $3x^{2}+5x-6$ на множители с целыми коэффициентами не существует.

3. 3

   Подставляем в формулу корней.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{2(3)}=\frac{-5\pm\sqrt{97}}{6}$

4. 4

   Проверяем, что дальше ничего не упрощается. У числа $97$ нет квадратных делителей, поэтому $\sqrt{97}$ не выносится; а у чисел $-5$, $1$ и $6$ нет общего множителя, так что дробь остаётся как есть. Итак, два корня:

   $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\approx0.808143,\qquad x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\approx-2.474810$

5. 5

   Проверяем по теореме Виета и подстановкой. Сумма корней должна равняться $-b/a=-\tfrac53$: $\dfrac{-5+\sqrt{97}}{6}+\dfrac{-5-\sqrt{97}}{6}=\dfrac{-10}{6}=-\dfrac53$ ✓. Произведение должно равняться $c/a=-2$: $\dfrac{25-97}{36}=\dfrac{-72}{36}=-2$ ✓. Подстановка любого из корней в $3x^{2}+5x-6$ даёт невязку меньше $10^{-11}$ ✓.