Решите неравенство |x − 2| + |x − 5| > 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки излома и разбиваем прямую. Каждый модуль меняет формулу там, где подмодульное выражение обращается в нуль: при $x=2$ и $x=5$. Значит, рассматриваем $x<2$, $2\le x<5$ и $x\ge5$; на каждом куске оба модуля становятся линейными.

2. 2

   Случай 1: x < 2 (оба подмодульных выражения отрицательны). Тогда $|x-2|=2-x$ и $|x-5|=5-x$, поэтому сумма равна $7-2x$:

   $7-2x>7\qquad\Longrightarrow\qquad -2x>0\qquad\Longrightarrow\qquad x<0$

   При делении на $-2$ знак неравенства меняется на противоположный. Пересечение $x<0$ с $x<2$ оставляет $x<0$.

3. 3

   Случай 2: 2 ≤ x < 5 (знаки разные). Здесь $|x-2|=x-2$ и $|x-5|=5-x$, и слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются:

   $(x-2)+(5-x)=3>7$

   Это неверно при любом $x$ из промежутка, поэтому средняя полоса не даёт решений. Между точками излома сумма постоянна и равна $3$ — это расстояние от $2$ до $5$.

4. 4

   Случай 3: x ≥ 5 (оба подмодульных выражения неотрицательны). Сумма равна $(x-2)+(x-5)=2x-7$:

   $2x-7>7\qquad\Longrightarrow\qquad 2x>14\qquad\Longrightarrow\qquad x>7$

   Пересечение с $x\ge5$ оставляет $x>7$.

5. 5

   Объединяем случаи.

   $x<0\quad\text{или}\quad x>7,\qquad(-\infty,0)\cup(7,\infty)$

6. 6

   Подтверждаем ответ через смысл расстояния. Выражение $|x-2|+|x-5|$ — это суммарное расстояние от $x$ до $2$ и до $5$. Его минимум равен зазору $3$ и достигается на всём отрезке $[2,5]$; вне отрезка сумма растёт на $2$ за каждую единицу. Чтобы дойти до $7$, нужно добавить $7-3=4$, то есть отойти на $2$ единицы от точки излома, — отсюда границы $2-2=0$ и $5+2=7$ ✓. Проверка: при $x=0$ получаем $|{-2}|+|{-5}|=7$, при $x=7$ — $|5|+|2|=7$, и обе точки исключены строгим неравенством. Перебор $4001$ точной рациональной точки на $[-20,20]$ совпадает во всех точках ✓.