Найти значение D = 9x² − 12xy + 4y², если 3x − 2y = 20.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим квадратные члены и выделим их корни. Для тождества $A^2 - 2AB + B^2$ сначала определим $A$ и $B$:

   $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A = 3x, \qquad B^2 = 4y^2 \Rightarrow B = 2y$

   Коэффициенты $9$ и $4$ — это точные квадраты, что указывает на возможность свернуть выражение в полный квадрат.

2. 2

   Проверим средний член. Для применения тождества требуется, чтобы средний член был равен $2AB$:

   $2AB = 2(3x)(2y) = 12xy$

   В данном выражении стоит $-12xy$, то есть совпадает по модулю, а знак минус указывает на $(A - B)^2$, а не $(A + B)^2$. Если бы коэффициент отличался от $12$, выражение не было бы полным квадратом.

3. 3

   Свернём выражение в полный квадрат.

   $D = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$

4. 4

   Подставим данное условие. При $3x - 2y = 20$:

   $D = 20^2 = 400$

   Здесь вся скобка заменяется сразу; отдельных значений $x$ и $y$ не требуется.

5. 5

   Проверим на двух конкретных решениях уравнения 3x − 2y = 20. Пусть $y = 2$, $x = 8$: $9(64) - 12(16) + 4(4) = 576 - 192 + 16 = 400 \ \checkmark$. Пусть $y = -1$, $x = 6$: $324 + 72 + 4 = 400 \ \checkmark$. Значение не зависит от выбора решения, как и ожидалось.