Три специи имеют неизвестные рейтинги остроты. Если взять среднее двух и прибавить третью, получаются 35, 27 и 25 для трёх вариантов. Найдите наибольший рейтинг.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала избавимся от дробей. Умножим каждое уравнение на $2$, чтобы получить целые коэффициенты и увидеть симметрию:

   $x+y+2z=70,\qquad x+2y+z=54,\qquad 2x+y+z=50.$

2. 2

   Воспользуемся симметрией: сложим все три уравнения. Каждая переменная встречается один раз с коэффициентом $2$ и дважды с коэффициентом $1$, то есть в сумме коэффициент $4$ для каждой:

   $4x+4y+4z=70+54+50=174\quad\Longrightarrow\quad x+y+z=\frac{174}{4}=43.5.$

   Это ключевое значение — оно позволяет найти каждую переменную простым вычитанием.

3. 3

   Вычтем сумму из каждого удвоенного уравнения. В $x+y+2z=70$ левая часть — это $(x+y+z)+z$, значит

   $z=70-43.5=26.5.$

   Аналогично для остальных:

   $y=54-43.5=10.5,\qquad x=50-43.5=6.5.$

4. 4

   Проверим исходные условия. Подставим $x=6.5$, $y=10.5$, $z=26.5$:

   $\frac{6.5+10.5}{2}+26.5=8.5+26.5=35,\qquad \frac{6.5+26.5}{2}+10.5=16.5+10.5=27,$

   $\frac{10.5+26.5}{2}+6.5=18.5+6.5=25.$

   Все три условия выполняются.

5. 5

   Выделим наибольший рейтинг. Сравнивая $6.5$, $10.5$ и $26.5$, самый острый сорт —

   $z=26.5=\tfrac{53}{2}.$

   Обратите внимание: наибольший рейтинг всегда соответствует наибольшей из трёх сумм, ведь $z=(\text{удвоенное значение в его уравнении})-43.5$.