Разложите 1/(2n² + n) на простейшие дроби.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем общий множитель в знаменателе. Оба слагаемых содержат $n$:

   $2n^2+n=n(2n+1)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n(2n+1)}$

   В знаменателе — два различных линейных множителя, значит, в разложении будет по одной дроби на каждый, без повторяющихся степеней.

2. 2

   Составим шаблон разложения и избавимся от знаменателей.

   $\frac{1}{n(2n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{2n+1}\quad\Longrightarrow\quad 1=A(2n+1)+Bn$

   Такой вид позволяет найти коэффициенты $A$ и $B$.

3. 3

   Сгруппируем по степеням $n$ и приравняем коэффициенты.

   $1=(2A+B)n+A$

   Свободный член даёт $A=1$; коэффициент при $n$ должен равняться нулю, то есть $2A+B=0$, откуда

   $B=-2A=-2$

4. 4

   Запишем итоговое разложение.

   $\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1},\qquad n\neq 0,\ n\neq-\tfrac12$

   Указаны значения $n$, при которых выражение определено.

5. 5

   Проверим, сложив дроби обратно и на числовых примерах. $\tfrac{(2n+1)-2n}{n(2n+1)}=\tfrac{1}{n(2n+1)}$ $\checkmark$. При $n=1$: слева $=\tfrac13$, справа $=1-\tfrac23=\tfrac13$ $\checkmark$. При $n=2$: слева $=\tfrac{1}{10}$, справа $=\tfrac12-\tfrac25=\tfrac{1}{10}$ $\checkmark$. Такое разложение часто используется для суммирования ряда $\sum\tfrac{1}{2n^2+n}$.