Решите уравнение 3x − 6/x − 2 = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу выпишем ограничение области определения. Выражение $\tfrac6x$ не определено при $x=0$, поэтому $x=0$ решением быть не может. Именно эта оговорка позволяет позже безопасно умножить на $x$.

2. 2

   Соберём свободные члены. Прибавим $2$ к обеим частям:

   $3x-\frac{6}{x}=10$

3. 3

   Умножим каждое слагаемое на $x$, чтобы убрать дробь.

   $3x^2-6=10x\quad\Longrightarrow\quad 3x^2-10x-6=0$

   Умножение на переменную в общем случае может добавить посторонние корни, поэтому в конце ответы обязательно проверяем.

4. 4

   Решаем квадратное уравнение. При $a=3$, $b=-10$, $c=-6$:

   $\Delta=100+72=172=4\cdot 43\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10\pm 2\sqrt{43}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{43}}{3}$

5. 5

   Убеждаемся, что посторонних корней нет. $\sqrt{43}\approx 6.5574$, откуда $x\approx 3.8525$ или $x\approx-0.5191$. Оба числа отличны от нуля, значит, оба проходят проверку по области определения. Подставим $x\approx 3.8525$: $11.557-1.557-2=8.000$ $\checkmark$.