Чему равно частное (x³ − 3x² + 5x − 3) ÷ (x − 1)?

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим, делится ли многочлен нацело. По теореме о корне, $x - 1$ делит данный кубический многочлен без остатка, если при подстановке $x = 1$ получается ноль:

   $1 - 3 + 5 - 3 = 0$

   Условие выполняется, значит, ожидается остаток $0$ и частное — квадратный многочлен. Это заранее предупреждает: если появится ненулевой остаток, значит, допущена арифметическая ошибка.

2. 2

   Первый шаг: делим, умножаем, вычитаем. Делим старшие члены:

   $\frac{x^3}{x} = x^2, \qquad x^2(x-1) = x^3 - x^2$

   $(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) - (x^3 - x^2) = -2x^2 + 5x - 3$

3. 3

   Второй шаг. В новом выражении старший член $-2x^2$:

   $\frac{-2x^2}{x} = -2x, \qquad -2x(x-1) = -2x^2 + 2x$

   $(-2x^2 + 5x - 3) - (-2x^2 + 2x) = 3x - 3$

   Обращаем внимание на знак: вычитание $+2x$ даёт $5x - 2x = 3x$.

4. 4

   Третий шаг завершает деление. Из $3x$:

   $\frac{3x}{x} = 3, \qquad 3(x-1) = 3x - 3$

   $(3x - 3) - (3x - 3) = 0$

   Остаток равен $0$, как и предсказывала теорема о корне, значит, частное — $x^2 - 2x + 3$.

5. 5

   Проверим результат умножением. Раскроем скобки в произведении, полученном при делении:

   $(x-1)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$

   Это совпадает с исходным многочленом. Вдобавок, дискриминант $x^2 - 2x + 3$ равен $4 - 12 = -8 < 0$, значит, $x = 1$ — единственный вещественный корень кубического многочлена.