Разложить E = 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем повторяющийся шаблон, а не общий множитель для всех слагаемых. Нет такого множителя, который делил бы все шесть слагаемых, поэтому используется группировка. Последние четыре слагаемых уже наводят на мысль: $a^2x+a^2y$ и $12x+12y$ содержат $x+y$.

2. 2

   Сначала разложим на множители простые пары.

   $a^2x+a^2y=a^2(x+y),\qquad 12x+12y=12(x+y)$

   Две из трёх пар теперь имеют общий биномиальный множитель $x+y$, значит, оставшуюся пару нужно привести к такому же виду.

3. 3

   Приведём первую пару к нужному виду. В обоих первых слагаемых содержится $4x^2y^2$:

   $4x^2y^3+4x^3y^2=4x^2y^2(y+x)=4x^2y^2(x+y)$

   Именно на этом шаге решается задача — замечаем, что из $y^3$ и $x^3$ после вынесения $4x^2y^2$ остаются $y$ и $x$ соответственно.

4. 4

   Выносим общий биномиальный множитель. Теперь во всех трёх группах есть $x+y$:

   $E=(x+y)\left(4x^2y^2+a^2+12\right)$

5. 5

   Проверим численно и убедимся в полноте разложения. При $x=1$, $y=2$, $a=3$ исходное выражение: $4(1)(8)+4(1)(4)+9+18+12+24=32+16+63=111$, а в разложенном виде: $3\left(16+9+12\right)=3\cdot 37=111\;\checkmark$. Второй множитель — сумма неотрицательных слагаемых и 12, он не обращается в ноль и не даёт новых вещественных множителей.