Найдите частное (3x² − 4x − 1) : (x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем деление столбиком. Делимое $3x^2-4x-1$ уже упорядочено по убыванию степеней, делитель — $x-2$. На каждом шаге сравнивается только старший член того, что осталось.

2. 2

   Первый шаг деления. $\dfrac{3x^2}{x}=3x$, значит, первый член частного равен $3x$. Умножаем обратно: $3x(x-2)=3x^2-6x$. Вычитаем: $(3x^2-4x)-(3x^2-6x)=2x$, сносим $-1$ и получаем $2x-1$.

3. 3

   Второй шаг деления. $\dfrac{2x}{x}=2$, значит, следующий член частного равен $2$. Умножаем обратно: $2(x-2)=2x-4$. Вычитаем: $(2x-1)-(2x-4)=3$.

4. 4

   Останавливаемся и выписываем результат. Остаток $3$ имеет степень $0$, что меньше степени $1$ делителя, поэтому деление закончено. Частное равно $3x+2$, остаток равен $3$.

5. 5

   Записываем смешанную форму. $\dfrac{3x^2-4x-1}{x-2}=3x+2+\dfrac{3}{x-2}$. Остаток не равен нулю, поэтому $x-2$ не является делителем делимого.

6. 6

   Проверяем по теореме Безу и обратным умножением. Подставив $x=2$ в делимое, получаем $3(4)-8-1=3$ — совпадает с остатком. Обратное умножение даёт $(x-2)(3x+2)+3=3x^2+2x-6x-4+3=3x^2-4x-1$, то есть исходное делимое.