Докажите, что x = 2 — корень уравнения (x² − 4x + 5)(2x² − 8x + 9) = 1, и других корней нет.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим x = 2 непосредственно.

   $4-8+5=1,\qquad 8-16+9=1$

   произведение равно $1\cdot 1=1$ — условие выполняется.

2. 2

   Выделим полный квадрат в первом множителе. Оба множителя имеют вершину в одной точке $x=2$, что и позволяет провести доказательство:

   $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$

3. 3

   Выделим полный квадрат во втором множителе.

   $2x^{2}-8x+9=2\left(x^{2}-4x\right)+9=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+9=2(x-2)^{2}+1$

4. 4

   Оценим оба множителя снизу единицей. Так как $(x-2)^{2}\ge 0$ при любом действительном $x$,

   $x^{2}-4x+5\ge 1,\qquad 2x^{2}-8x+9\ge 1$

   равенство достигается только при $x=2$.

5. 5

   Завершим рассуждение через произведение. Произведение двух чисел, каждое из которых $\ge 1$, также $\ge 1$, и равно $1$ только если оба равны $1$. Значит, уравнение возможно только при $(x-2)^{2}=0$:

   $\boxed{x=2\text{ — единственный действительный корень}}$

6. 6

   Проверим через замену переменной. Пусть $u=(x-2)^{2}\ge 0$. Тогда уравнение принимает вид $(u+1)(2u+1)=1$, то есть $2u^{2}+3u=0$, то есть $u(2u+3)=0$. Подходит только $u=0$, отсюда $x=2$. Для проверки: при $x=3$ левая часть $(2)(3)=6>1$, при $x=1$ также $(2)(3)=6>1$, значит минимум достигается при $x=2$.