Решите уравнение 1/(s + 2) + 1/(s + 4) + 1/(s + 9) − 1/(s + 6) = 0 относительно s.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выписываем недопустимые значения. Четыре знаменателя обращаются в нуль при

   $s=-2,\ -4,\ -6,\ -9$

   Ни одно из них решением быть не может, что бы ни дала алгебра. Отметив их заранее, любой посторонний корень мы поймаем сразу.

2. 2

   Освобождаемся от знаменателей, умножив всё уравнение. Умножив каждое слагаемое на $(s+2)(s+4)(s+6)(s+9)$, приходим к многочленному уравнению. Сложив четыре получившихся кубических выражения, получаем

   $2s^{3}+33s^{2}+180s+300=0$

   Члены четвёртой степени взаимно уничтожаются: три дроби складываются, а одна вычитается, и степень падает с 4 до 3.

3. 3

   Проверяем рациональные корни — и отбрасываем самые заманчивые. По теореме о рациональных корнях кандидаты имеют вид $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid 300$ и $q\mid 2$. Проверим правдоподобные: при $s=-5$ получается $2(-125)+33(25)-900+300=-25\neq 0$, при $s=-4$ — $-128+528-720+300=-20\neq 0$, а при $s=-\tfrac{15}{2}$ — $-\tfrac{3375}{4}+\tfrac{7425}{4}-1350+300\neq 0$. Рациональных корней нет, значит над рациональными числами кубический многочлен не раскладывается.

4. 4

   Предполагаемое разложение всегда стоит перемножить. Догадка вида $(s+5)(2s+15)(s+4)$ после раскрытия даёт $2s^{3}+33s^{2}+175s+300$ — старший, квадратичный и свободный коэффициенты совпадают, а линейный равен $175$, а не $180$. Именно проверка этого одного коэффициента и вскрывает ошибку.

5. 5

   Находим действительный корень численно. Так как $f(-3)=3>0$, а $f(-3.1)=-0.452<0$, корень лежит между ними; итерации Ньютона сходятся к

   $s\approx-3.0864085$

   Это значение не входит в список недопустимых, значит решение настоящее.

6. 6

   Разбираемся с двумя оставшимися корнями и проверяем ответ. Остальные корни образуют комплексную пару $s\approx-6.7068\pm 1.9024i$, поэтому действительное решение ровно одно. Подставим $s=-3.0864085$: $\tfrac{1}{-1.0864}+\tfrac{1}{0.9136}+\tfrac{1}{5.9136}-\tfrac{1}{2.9136}=-0.9205+1.0946+0.1691-0.3432=0.0000$ ✓.