Решите неравенство |3x + 1| − 2x < |x − 4| + 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём точки перехода. Каждый модуль меняет формулу там, где подмодульное выражение обращается в нуль: $3x+1=0$ при $x=-\frac13$ и $x-4=0$ при $x=4$. Эти две точки разбивают числовую прямую на три промежутка, и на каждом из них оба модуля раскрываются с постоянными знаками.

2. 2

   Случай 1: $x<-\frac13$. Оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому $|3x+1|=-3x-1$ и $|x-4|=-x+4$:

   $(-3x-1)-2x<(-x+4)+5\quad\Rightarrow\quad -5x-1<-x+9\quad\Rightarrow\quad -10<4x\quad\Rightarrow\quad x>-\frac52$

   Пересечение с условием $x<-\frac13$ даёт $-\frac52<x<-\frac13$.

3. 3

   Случай 2: $-\frac13\le x<4$. Теперь $3x+1\ge 0$, но $x-4<0$:

   $3x+1-2x<-x+4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<-x+9\quad\Rightarrow\quad 2x<8\quad\Rightarrow\quad x<4$

   Это в точности тот промежуток, в котором мы и находимся, поэтому подходит весь интервал $\left[-\frac13,4\right)$.

4. 4

   Случай 3: $x\ge 4$. Оба подмодульных выражения неотрицательны:

   $3x+1-2x<x-4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<x+1$

   Части тождественно равны, а число никогда не меньше самого себя строго. Значит, этот случай не даёт ничего — заметим, что при нестрогом знаке $\le$ вместо $<$ подошёл бы весь луч $x\ge 4$.

5. 5

   Объединим случаи.

   $\left(-\tfrac52,-\tfrac13\right)\cup\left[-\tfrac13,4\right)=\left(-\tfrac52,4\right)$

   Точка $-\frac13$ оказывается внутренней для объединения, поэтому ничего не теряется.

6. 6

   Проверим границы и одну внутреннюю точку. При $x=-\frac52$ обе части равны $\frac{23}{2}$, поэтому строгое неравенство не выполняется и конец промежутка исключается. При $x=4$ обе части равны $5$ — тоже исключается, что согласуется со случаем 3. При $x=0$: слева $=1$, справа $=9$, и $1<9$ верно ✓. Итак, решение — $-\frac52<x<4$.