Найти множество решений неравенства ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0, разобрав все случаи параметра a.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала рассмотрим вырожденный случай a = 0. Коэффициент при $x^2$ равен самому параметру, поэтому неравенство не всегда является квадратным. При $a = 0$ оно сводится к линейному неравенству:

   $-4x - 12 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x \le -3$

   Множество решений: $(-\infty, -3]$. Во всех остальных случаях предполагается $a \ne 0$.

2. 2

   Вычислим дискриминант и заметим, что он является полным квадратом. Для $a \ne 0$:

   $\Delta = (3a-4)^2 + 48a = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a+4)^2$

   Поскольку $\Delta \ge 0$ при любом действительном $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни — случая «нет действительных корней» рассматривать не требуется. Это ключевой структурный факт задачи.

3. 3

   Выпишем оба корня в явном виде.

   $x = \frac{4 - 3a \pm |3a+4|}{2a} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{8}{2a} = \frac{4}{a}, \qquad x_2 = \frac{-6a}{2a} = -3$

   Таким образом, один корень всегда фиксирован в $x = -3$ для любого $a$, а второй зависит от $a$. Значит,

   $ax^2 + (3a-4)x - 12 = a(x+3)\left(x - \frac{4}{a}\right)$

   что при раскрытии скобок даёт исходное выражение $ax^2 + 3a x - 4x - 12$.

4. 4

   Случай a > 0: ветви параболы вверх. Тогда $4/a > 0 > -3$, то есть корни расположены как $-3 < 4/a$, и выражение неотрицательно вне промежутка между ними:

   $x \le -3 \quad \text{или} \quad x \ge \frac{4}{a}, \qquad \text{т.е.} \quad (-\infty,-3] \cup \left[\tfrac{4}{a}, +\infty\right)$

5. 5

   Случай a < 0: ветви параболы вниз, сравним корни. Теперь выражение неотрицательно между корнями, а порядок $-3$ и $4/a$ зависит от $a$. Так как $4/a = -3 \iff a = -\tfrac43$:

   $-\tfrac43 < a < 0: \ \ \frac4a < -3 \ \Longrightarrow \ \left[\tfrac4a,\, -3\right]$

   $a = -\tfrac43: \ \ \frac4a = -3 \ \Longrightarrow \ \{-3\} \ \ (\Delta = 0,\ \text{единственная точка})$

   $a < -\tfrac43: \ \ -3 < \frac4a \ \Longrightarrow \ \left[-3,\, \tfrac4a\right]$

   Средний случай легко пропустить: при $a = -\tfrac43$ оба корня совпадают, и множество решений — одна точка.

6. 6

   Соберём полный ответ.

   $a = 0:\ (-\infty,-3] \qquad a > 0:\ (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac4a,\infty\right)$

   $a < 0:\ \left[\min\left(-3,\tfrac4a\right),\ \max\left(-3,\tfrac4a\right)\right]$

   Проверим для $a = 2$: неравенство $2x^2+2x-12 \ge 0$, то есть $2(x+3)(x-2) \ge 0$, даёт $x \le -3$ или $x \ge 2 = 4/a$, как и ожидалось.