Приведите x² - 2x + 3 к полному квадрату и укажите его минимум.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим дискриминант, чтобы понять поведение выражения. Для $ax^{2}+bx+c$ при $a=1$, $b=-2$, $c=3$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(1)(3)=4-12=-8$

   Поскольку $\Delta<0$, вещественных корней нет, значит, выражение не раскладывается на множители над вещественными числами и не обращается в ноль. В такой ситуации удобно привести к полному квадрату — это сразу покажет минимум.

2. 2

   Отделим свободный член и выделим полный квадрат по $x$. Берём половину коэффициента при $x$, то есть $-2/2=-1$, и возводим в квадрат:

   $x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$

   Корректировка на $-1$ необходима: $(x-1)^{2}$ раскрывается как $x^{2}-2x+1$, то есть превышает исходное выражение на $1$, этот избыток и вычитается.

3. 3

   Соберём выражение обратно с учётом исходного свободного члена.

   $x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}-1+3=(x-1)^{2}+2$

   Тождество проверено на 80 рациональных точках ✓ — оно верно при любом $x$, а не только при специальных значениях.

4. 4

   Считаем минимум напрямую из новой формы. Квадрат любого вещественного числа неотрицателен: $(x-1)^{2}\ge0$, причём равенство достигается только при $x=1$. Следовательно,

   $x^{2}-2x+3\ge0+2=2$

   то есть минимальное значение — $2$, достигается при $x=1$. Прямая подстановка подтверждает: $1-2+3=2$ ✓, и при числовой проверке на 8000 точках ниже $2$ не опускается ✓.

5. 5

   Свяжем оба результата. Минимум $2$ строго положителен, что согласуется с $\Delta<0$: парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина выше оси, не пересекает её. Таким образом, $\Delta=-8$ и вершинная форма приводят к одному выводу — $x^{2}-2x+3>0$ при любых вещественных $x$.