Упростите квадратный корень из −140.

Step-by-step solution

1. 1

   Первым делом выносим мнимую единицу. По определению $i=\sqrt{-1}$, поэтому при $a>0$:

   $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-140}=i\sqrt{140}$

   Если сделать это сразу, все дальнейшие шаги пройдут в области действительных чисел, где обычные правила действий с радикалами работают.

2. 2

   Ищем наибольший квадратный делитель числа $140$. Его разложение на простые множители $140=2^2\times 5\times 7$, значит, полный квадрат равен $4$:

   $140=4\times 35$

3. 3

   Упрощаем действительный радикал.

   $\sqrt{140}=\sqrt4\cdot\sqrt{35}=2\sqrt{35}$

   а число $35=5\times 7$ свободно от квадратов, поэтому вынести больше нечего.

4. 4

   Собираем части вместе.

   $\sqrt{-140}=2i\sqrt{35}$

5. 5

   Проверяем возведением в квадрат. $\left(2i\sqrt{35}\right)^2=4i^2\cdot 35=4(-1)(35)=-140$ $\checkmark$. Численно $2\sqrt{35}\approx 11.8322$, то есть значение примерно равно $11.8322i$.