Пусть модуль суммы (сопряжённого к Z) и 4i/Z равен 2√2. Найти модуль Z.

Step-by-step solution

1. 1

   Переходим к показательной форме, чтобы вынести аргумент за скобку. Запишем $Z = re^{i\theta}$, где $r=|Z|>0$. Тогда $\overline{Z} = re^{-i\theta}$ и $Z^{-1} = \tfrac1r e^{-i\theta}$ — принципиально, что оба слагаемых несут один и тот же множитель $e^{-i\theta}$.

2. 2

   Выносим общую экспоненту. $\overline{Z}+4iZ^{-1} = e^{-i\theta}\left(r+\frac{4i}{r}\right).$ Так как $|e^{-i\theta}|=1$, модуль вообще не зависит от $\theta$: $\left|\overline{Z}+4iZ^{-1}\right| = \left|r+\frac{4i}{r}\right|.$

3. 3

   Записываем модуль через r. В скобке действительная часть равна $r$, а мнимая — $\tfrac4r$, обе они действительны, поэтому $\left|r+\frac{4i}{r}\right| = \sqrt{r^2+\frac{16}{r^2}} = 2\sqrt2.$

4. 4

   Возводим в квадрат и избавляемся от знаменателя. Возведение в квадрат даёт $r^2+\dfrac{16}{r^2} = 8$; умножив на $r^2$ (оно не равно нулю), получаем биквадратное уравнение $r^4-8r^2+16 = 0.$

5. 5

   Замечаем полный квадрат. $r^4-8r^2+16 = (r^2-4)^2$, поэтому из $(r^2-4)^2=0$ следует $r^2=4$. Корень один, кратный, а не два — это намёк на то, что $2\sqrt2$ есть в точности минимально возможное значение левой части.

6. 6

   Берём положительный корень и проверяем. Модуль неотрицателен, значит $r=|Z|=2$. Проверка: $\sqrt{2^2+\tfrac{16}{4}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2$. По неравенству о средних $r^2+\tfrac{16}{r^2} \ge 8$, причём равенство достигается только при $r=2$ — поэтому ответ единственный.