Решить уравнение x³ − 245,711x² + 2,764156x + 0,057072 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Оценим порядок корней ещё до вычислений. Коэффициент при $x^{2}$ огромен по сравнению с остальными, поэтому один корень обязан быть близок к $245.711$ (он один почти уравновешивает кубическое слагаемое), а два оставшихся должны быть крошечными — примерно корнями почти квадратного уравнения $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$. Ожидаемый разброс величин в $10^{4}$ раз заранее подсказывает, какие проверки окажутся чувствительными, а какие нет.

2. 2

   Найдём большой корень. При $x$, близких к $245.711$, поведение многочлена определяется выражением $x^{2}(x-245.711)$, и итерации Ньютона от $x_{0}=245.7$ сразу сходятся к

   $x_{3}=245.6997489169$

3. 3

   Найдём два малых корня по переменам знака. Вычислим $f$ вблизи нуля: $f(-0.011)<0$, $f(0)=0.057072>0$, $f(0.022)<0$, значит, один корень лежит в $(-0.011,0)$, а другой — в $(0,0.022)$. Итерации Ньютона в 50-значной арифметике дают

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

4. 4

   Проверяем подстановкой, а не одними формулами Виета. Это принципиальная предосторожность. Сумма корней должна равняться $245.711$, а произведение $-0.057072$, однако большой корень настолько доминирует в сумме, что даже неверные малые корни выглядят проходящими проверку: ошибочная пара $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ удовлетворяет проверке Виета на сумму с точностью до четырёх знаков (произведение же, $-0.09690$, промахивается сильно), но подстановка любого из этих чисел в $f$ даёт $-0.0398$, а не $0$.

5. 5

   Подтвердим каждый корень напрямую. Подстановка верных значений даёт $f(x_{1})$, $f(x_{2})$ и $f(x_{3})$, каждое из которых меньше $10^{-40}$ в 50-значной арифметике ✓. Только подстановка в исходный многочлен отличает настоящий корень от правдоподобного «почти корня».

6. 6

   Запишем три корня.

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   Все три действительны, что согласуется с положительным дискриминантом: кубическая парабола пересекает ось трижды, причём дважды — в пределах сотой доли от начала координат.