Решите уравнение (x² − 5x) · √(4 + 3x − x²) = 0 и найдите сумму его корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала найдём область определения, а уже потом решаем. Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: $4+3x-x^{2}\ge 0$, то есть $x^{2}-3x-4\le 0$, то есть $(x-4)(x+1)\le 0$, откуда $x\in[-1,4].$ Любой кандидат вне этого отрезка решением исходного уравнения не является, что бы ни говорили алгебраические выкладки.

2. 2

   Применим правило нулевого произведения. Произведение равно нулю ровно тогда, когда нулю равен один из множителей, поэтому либо $x^{2}-5x=0$, либо $\sqrt{4+3x-x^{2}}=0$.

3. 3

   Решим многочленный множитель и отсеем по области определения. Из $x^{2}-5x=x(x-5)=0$ получаем $x=0$ или $x=5$. Так как $5\notin[-1,4]$, остаётся только $x=0$; при $x=5$ подкоренное выражение равнялось бы $4+15-25=-6<0$.

4. 4

   Решим множитель с радикалом. Квадратный корень равен нулю ровно тогда, когда нулю равно подкоренное выражение: $4+3x-x^{2}=0$, то есть $x^{2}-3x-4=0$, то есть $(x-4)(x+1)=0$, откуда $x=4$ и $x=-1$. Оба числа — концы области определения, значит, оба допустимы.

5. 5

   Соберём корни и сложим. Множество решений — $\{-1,0,4\}$, а искомая сумма равна $-1+0+4=3$. Подстановка каждого значения даёт $6\cdot\sqrt{0}$, $0\cdot 2$ и $-4\cdot 0$ — всюду нуль, так что все три корня настоящие.