Упростите дробь с числителем L² − R² и знаменателем H + R.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим числитель по формуле разности квадратов. Так как $L^2-R^2$ — это $a^2-b^2$ при $a=L$, $b=R$,

   $L^2-R^2=(L-R)(L+R)$

   Значит, дробь принимает вид $\dfrac{(L-R)(L+R)}{H+R}$. Разложение на множители — всегда первый шаг: сокращать можно только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.

2. 2

   Сравним получившиеся множители с выражением в знаменателе. В числителе стоят $(L-R)$ и $(L+R)$, в знаменателе — $(H+R)$. Это разные выражения: $(L+R)$ и $(H+R)$ совпадают только по $R$, но различаются по первой букве. Нет никакого правила, позволяющего сократить $L$ и $H$.

3. 3

   Запишем окончательный вид дроби. Общих множителей нет, поэтому на этом преобразования заканчиваются:

   $\frac{L^2-R^2}{H+R}=\frac{(L-R)(L+R)}{H+R}$

   Это и есть «упрощённая» форма: числитель полностью разложен, сама дробь не сокращается.

4. 4

   Отметим особый случай. Если дополнительно известно, что $H=L$, знаменатель превращается в $L+R$, который совпадает с одним из множителей:

   $\frac{(L-R)(L+R)}{L+R}=L-R\qquad (L+R\neq 0)$

5. 5

   Покажем на числовом примере, почему сокращать нельзя в общем случае. Пусть $L=5$, $R=3$, $H=2$: тогда дробь равна $\frac{25-9}{2+3}=\frac{16}{5}=3{,}2$, а $L-R=2$. Значения разные, значит, сокращение было бы ошибкой. Если же $H=L=5$, получаем $\frac{16}{8}=2=L-R$ — как и предсказывает особый случай.