Решите уравнение −4.4912x² − 0.5182x + 30.066 = 0 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем старший коэффициент за скобку из первых двух слагаемых.

   $-4.4912\left(x^2+\frac{0.5182}{4.4912}x\right)+30.066=-4.4912\left(x^2+0.115381x\right)+30.066$

   Внутрь скобки идут только слагаемые с $x^2$ и $x$; свободный член остаётся снаружи — так проще ничего не перепутать при подсчётах.

2. 2

   Выделим полный квадрат внутри скобки. Половина коэффициента при $x$ равна $0.05769059$, а её квадрат — $0.00332820$:

   $x^2+0.115381x=\left(x+0.05769059\right)^2-0.00332820$

3. 3

   Раскроем скобку обратно, умножив на старший коэффициент.

   $-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+4.4912(0.00332820)+30.066=-4.4912\left(x+0.05769059\right)^2+30.08095$

   Это и есть вершинная форма: вершина параболы находится в точке $\left(-0.05769,\,30.08095\right)$. Так как максимум положителен, а ветви направлены вниз, действительных корней обязательно два.

4. 4

   Решим вершинную форму относительно $x$.

   $\left(x+0.05769059\right)^2=\frac{30.08095}{4.4912}=6.697753\;\Longrightarrow\;x+0.05769059=\pm 2.588002$

   $x=-0.05769059\pm 2.588002$

5. 5

   Вычислим и проверим.

   $x_1=-2.64569,\qquad x_2=2.53031$

   Теорема Виета подтверждает оба значения: сумма должна равняться $-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-0.5182}{-4.4912}=-0.11538$, и действительно $-2.64569+2.53031=-0.11538\;\checkmark$; произведение должно равняться $\tfrac{c}{a}=\tfrac{30.066}{-4.4912}=-6.69442$, и $(-2.64569)(2.53031)=-6.69442\;\checkmark$. Корни симметричны относительно абсциссы вершины $-0.05769$ — ровно так, как и предсказывает вершинная форма.