Функцию f(x) = |x − 4| − 3 сдвинули на 6 единиц вверх и на 2 единицы вправо. Записать уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим исходную вершину. У функции вида $f(x)=|x-h|+k$ излом стоит в точке $(h,k)$. Из записи $f(x)=|x-4|-3$ читаем $h=4$ и $k=-3$, значит вершина находится в

   $(4,-3)$

   Следить за вершиной — самый быстрый способ не запутаться в сдвигах: сама «галочка» не меняется, меняется только положение её излома.

2. 2

   Выполняем горизонтальный сдвиг, заменяя $x$ на $x-2$. Сдвиг графика на $2$ единицы вправо означает, что для получения прежнего значения аргумент должен стать на $2$ больше, поэтому в подстановке стоит вычитание:

   $f(x-2)=\left|(x-2)-4\right|-3=|x-6|-3$

   Знак кажется большинству учеников перевёрнутым — сдвиг вправо вычитает внутри, — и именно поэтому шаг стоит делать подстановкой, а не по памяти.

3. 3

   Выполняем вертикальный сдвиг прибавлением снаружи. Подъём на $6$ единиц прибавляет $6$ ко всему значению функции:

   $|x-6|-3+6=|x-6|+3$

   Вертикальные сдвиги ведут себя интуитивно: вверх — значит $+$.

4. 4

   Записываем преобразованную функцию и её вершину.

   $f(x)=|x-6|+3,\qquad \text{вершина }(6,3)$

   Вершина переехала из $(4,-3)$ в $(6,3)$: вправо на $2$, вверх на $6$ — ровно то, что требовалось, и это встроенная проверка.

5. 5

   Проверяем контрольной точкой. На исходном графике $f(4)=|4-4|-3=-3$ — это излом. После сдвига вправо на $2$ и вверх на $6$ соответствующая точка должна оказаться в $(6,3)$, и новая формула даёт $|6-6|+3=3\;\checkmark$. Ещё одна проверка: исходное $f(0)=|{-4}|-3=1$ переходит в $(2,7)$, а новая функция даёт $|2-6|+3=4+3=7\;\checkmark$.