Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (10, −5) и (1, −8).

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим наклон, внимательно относясь к двойным минусам. Пусть $(x_{1},y_{1})=(10,-5)$ и $(x_{2},y_{2})=(1,-8)$:

   $m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-8-(-5)}{1-10}=\frac{-3}{-9}=\frac{1}{3}$

   Оба разности отрицательны, поэтому наклон получается положительным. Вычитание в одном и том же порядке в числителе и знаменателе гарантирует правильный знак.

2. 2

   Запишем уравнение прямой в точечно-наклонной форме, используя любую из точек. Возьмём $(10,-5)$:

   $y-(-5)=\frac{1}{3}(x-10)\ \Longrightarrow\ y+5=\frac{1}{3}(x-10)$

   По формуле из координаты вычитается переменная, поэтому $y-(-5)$ превращается в $y+5$.

3. 3

   Раскроем скобки, распределяя наклон.

   $y+5=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$

4. 4

   Выразим $y$, переводя 5 в дробь с знаменателем 3.

   $y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}-5=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}-\frac{15}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{25}{3}$

   Свободный член $-\tfrac{25}{3}$ оставим в точном виде — округление до $-8{,}33$ приведёт к потере точности и не позволит корректно проверить решение.

5. 5

   Проверим обе исходные точки. При $x=10$: $\tfrac{10}{3}-\tfrac{25}{3}=-\tfrac{15}{3}=-5$ ✓. При $x=1$: $\tfrac{1}{3}-\tfrac{25}{3}=-\tfrac{24}{3}=-8$ ✓. Проверка обеих точек, а не только использованной для построения уравнения, действительно подтверждает правильность наклона.