Решите кубическое уравнение 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем кандидатов в рациональные корни. Для многочлена $a_nx^n + \dots + a_0$ любой рациональный корень имеет вид $\pm\frac{p}{q}$, где $p \mid a_0 = 3$ и $q \mid a_n = 2$. Значит, полный список кандидатов таков:

   $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32$

   Поскольку старший коэффициент равен $2$, а не $1$, половинки обязательно надо проверить — именно их пропуск заставляет ошибочно считать этот многочлен неразложимым.

2. 2

   Проверяем кандидатов и находим подходящий. Пробуем $x = \tfrac12$:

   $2\left(\tfrac18\right) + 3\left(\tfrac14\right) - 8\left(\tfrac12\right) + 3 = \tfrac14 + \tfrac34 - 4 + 3 = 0$

   Значит, $x = \tfrac12$ — корень, и по теореме Безу множитель $\left(x - \tfrac12\right)$ — равносильно целочисленный множитель $(2x - 1)$ — делит наш многочлен.

3. 3

   Делим на найденный множитель. Деление многочленов (или схема Горнера) на $2x - 1$ даёт квадратное частное без остатка:

   $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)\left(x^2 + 2x - 3\right)$

   Нулевой остаток и подтверждает, что деление выполнено верно.

4. 4

   Раскладываем квадратное частное. Два числа с произведением $-3$ и суммой $+2$ — это $+3$ и $-1$:

   $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

   $\Longrightarrow \quad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

5. 5

   Приравниваем каждый множитель к нулю и проверяем.

   $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac12, \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   Подстановка назад: при $x=-3$ получаем $-54 + 27 + 24 + 3 = 0$, а при $x=1$ — $2 + 3 - 8 + 3 = 0$. Сумма корней равна $-3 + \tfrac12 + 1 = -\tfrac32 = -\tfrac{a_2}{a_3}$, а их произведение равно $-\tfrac32 = -\tfrac{a_0}{a_3}$ — и то и другое согласуется с формулами Виета.