Как превратить 3⁸ / 27⁻² в 3⁸ / 3⁻⁶ и чему равен результат?

Step-by-step solution

1. 1

   Находим общее основание. Правила работы со степенями применимы только для одинаковых оснований, поэтому сначала выражаем $27$ как степень числа $3$:

   $27=3\times 3\times 3=3^{3}$

2. 2

   Подставляем и применяем правило степени степени. Подставим вместо $27$ выражение $3^3$ и перемножим показатели:

   $27^{-2}=\left(3^{3}\right)^{-2}=3^{3\times(-2)}=3^{-6}$

   В этом и заключается основной приём: $(a^m)^n=a^{mn}$, а знак минус просто сохраняется при умножении. Получаем ровно нужный вид $\dfrac{3^{8}}{3^{-6}}$.

3. 3

   Делим степени, вычитая показатели.

   $\frac{3^{8}}{3^{-6}}=3^{8-(-6)}=3^{14}$

   Вычитание отрицательного показателя приводит к сложению, поэтому деление на $27^{-2}$ увеличивает итоговую степень.

4. 4

   Вычисляем значение.

   $3^{14}=4\,782\,969$

5. 5

   Проверяем без перехода к основанию. Если сразу раскрыть $27^{-2}=1/27^2=1/729$, то $\dfrac{3^8}{1/729}=6561\times 729=4\,782\,969$ — тот же результат, что подтверждает оба способа.