Решите неравенство x² + x − 1 ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим корни по формуле квадратного уравнения. При $a=1$, $b=1$, $c=-1$

   $\Delta=1^2-4(1)(-1)=1+4=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$

   Целых чисел с произведением $-1$ и суммой $1$ не существует, так что разложение на множители здесь заведомо не сработало бы.

2. 2

   Узнаём эти числа. $\frac{-1+\sqrt5}{2}=0.6180340$ и $\frac{-1-\sqrt5}{2}=-1.6180340$ — это числа, противоположные золотому сечению и его сопряжённому. Золотое сечение удовлетворяет соотношению $\varphi^2=\varphi+1$; подстановка φ = −x превращает его ровно в $x^2+x-1=0$. Их произведение равно $-1$, а сумма $-1$, что совпадает с $c/a$ и $-b/a$.

3. 3

   Учитываем направление ветвей. Старший коэффициент положителен, значит парабола направлена ветвями вверх и выражение $\ge 0$ вне промежутка между корнями:

   $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{или}\qquad x\ge\frac{-1+\sqrt5}{2}$

4. 4

   Включаем концы. Неравенство нестрогое ($\ge$), и в каждом корне выражение равно ровно $0$, поэтому оба граничных значения входят в множество решений — скобки квадратные, а не круглые.

5. 5

   Проверяем пробными точками. При $x=-2$: $4-2-1=1\ge 0$ ✓. При $x=0$: получаем $-1$, условие не выполняется — середина промежутка исключается верно ✓. При $x=1$: $1+1-1=1\ge 0$ ✓. Итак, решение

   $\left(-\infty,\tfrac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\tfrac{-1+\sqrt5}{2},\infty\right)$