Решите уравнение x⁴ − 6x² + 8 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём переодетое квадратное уравнение. Присутствуют только чётные степени $x$, причём $x^4=(x^2)^2$. Положив

   $u=x^2$

   мы превращаем уравнение четвёртой степени в обычное квадратное — такие уравнения называют биквадратными.

2. 2

   Решаем квадратное уравнение относительно $u$. Нужны два числа с произведением $8$ и суммой $-6$, а именно $-2$ и $-4$:

   $u^2-6u+8=(u-2)(u-4)=0\quad\Longrightarrow\quad u=2\ \text{или}\ u=4$

3. 3

   Возвращаемся к $x$ и извлекаем корни. Каждое положительное значение $u$ даёт два значения $x$:

   $x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt2,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

   Оба значения $u$ положительны — именно поэтому все четыре корня вещественные. Отрицательное $u$ дало бы вместо них мнимые корни.

4. 4

   Проверяем один иррациональный и один целый корень. При $x=\sqrt2$: $x^4=4$, $6x^2=12$, поэтому $4-12+8=0$ $\checkmark$. При $x=2$: $16-24+8=0$ $\checkmark$.

5. 5

   Убеждаемся, что корней ровно столько. Многочлен четвёртой степени имеет не более четырёх корней, а разложение

   $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$

   показывает все четыре, значит, ничего не потеряно.