Разложить (x-1)(x-2)(x+3)(x+6) - 5x² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Группируем скобки так, чтобы свободные члены совпали. Существует три способа разбить четыре множителя на две пары; полезен тот, где свободные члены совпадают. Поскольку $(-1)(6)=-6$ и $(-2)(3)=-6$, группируем первый с четвёртым и второй с третьим:

   $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6,\qquad (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6.$

   При любой другой группировке получаются два квадратных трёхчлена с разными свободными членами, и общая структура для дальнейшего разложения теряется.

2. 2

   Вводим замену для общего выражения. Оба получившихся трёхчлена содержат $x^{2}+x-6$, так как

   $x^{2}+5x-6=\left(x^{2}+x-6\right)+4x.$

   Пусть $y=x^{2}+x-6$, тогда исходное выражение примет вид

   $(y+4x)\,y-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}.$

   Теперь это однородный квадратный трёхчлен по $y$ и $x$, что гораздо проще, чем исходное выражение четвёртой степени.

3. 3

   Разложим квадратный трёхчлен по $y$. Требуется найти такие слагаемые, произведение которых равно $-5x^{2}$, а сумма — $4x$: это $5x$ и $-x$. Значит,

   $y^{2}+4xy-5x^{2}=(y+5x)(y-x).$

   Проверка: $(y+5x)(y-x)=y^{2}-xy+5xy-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}$ — всё верно.

4. 4

   Возвращаемся к переменной $x$. Подставим $y=x^{2}+x-6$ в каждый множитель:

   $y+5x=x^{2}+x-6+5x=x^{2}+6x-6,\qquad y-x=x^{2}+x-6-x=x^{2}-6.$

   Таким образом,

   $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)-5x^{2}=\left(x^{2}+6x-6\right)\left(x^{2}-6\right).$

5. 5

   Проверим и отметим корни. Подставим $x=1{,}7$: исходное выражение даёт $-22{,}0499$, а разложенная форма — также $-22{,}0499$ ✓. Оба множителя неприводимы над рациональными: $x^{2}-6$ имеет корни $\pm\sqrt6$, а $x^{2}+6x-6$ — дискриминант $36+24=60$, то есть корни $-3\pm\sqrt{15}$. Все четыре корня иррациональны, поэтому никакая проверка рациональных корней не позволила бы найти это разложение.