Найдите пересечение интервалов (−∞, −10] и [−10, 8).

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём каждый интервал в неравенство. $(-\infty, -10]$ — это $\{x : x \le -10\}$, а $[-10, 8)$ — это $\{x : -10 \le x < 8\}$. Вид скобок имеет значение: квадратная скобка включает конец, круглая — не включает.

2. 2

   Пересечём условия. Число, принадлежащее обоим множествам, должно одновременно удовлетворять $x \le -10$ и $x \ge -10$, что приводит к

   $x = -10$

   Третье условие $x < 8$ выполняется автоматически.

3. 3

   Проверим, действительно ли граничная точка входит в оба интервала. $-10$ принадлежит первому интервалу, так как правая граница замкнута, и второму — потому что левая граница тоже замкнута. Если бы хотя бы одна скобка была круглой, пересечение оказалось бы пустым.

4. 4

   Запишем ответ в обоих вариантах. Как множество: $\{-10\}$; как интервал — вырожденный замкнутый интервал

   $[-10,\, -10]$

   Его длина равна $0$, но он не пуст — важно не путать эти понятия.

5. 5

   Сравним с объединением. Те же интервалы в объединении дают $(-\infty, 8)$, так как вместе покрывают всё, что меньше $8$. Пересечение сводится к одной точке именно потому, что интервалы соприкасаются концами, а не перекрываются.