Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, поэтому мотоциклист преодолевает 30 км на час быстрее. Сколько времени затратил велосипедист? Варианты: 2 часа, 1,5 часа, 1 час или 3 часа.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим скорость, а не время. Пусть $v$ — скорость велосипедиста в км/ч, тогда скорость мотоциклиста равна $v+40$. Такой выбор неизвестного позволяет выразить оба времени как простые дроби с одинаковым расстоянием:

   $t_{\text{вел}}=\frac{30}{v},\qquad t_{\text{мото}}=\frac{30}{v+40}.$

2. 2

   Переведём «на час меньше» в уравнение. Более медленный едет на час дольше, поэтому вычитаем в таком порядке:

   $\frac{30}{v}-\frac{30}{v+40}=1.$

3. 3

   Избавимся от знаменателей. Домножим обе части на $v(v+40)$, где $v>0$:

   $30(v+40)-30v=v(v+40)\ \Longrightarrow\ 1200=v^{2}+40v.$

   Слагаемые $30v$ сокращаются, поэтому вычисления остаются простыми.

4. 4

   Решим квадратное уравнение и отбросим отрицательный корень.

   $v^{2}+40v-1200=0\ \Longrightarrow\ v=\frac{-40\pm\sqrt{1600+4800}}{2}=\frac{-40\pm 80}{2},$

   получаем $v=20$ или $v=-60$. Скорость не может быть отрицательной, значит $v=20\ \text{км/ч}$.

5. 5

   Отвечаем на поставленный вопрос. Требуется найти время велосипедиста, а не скорость:

   $t=\frac{30}{20}=1.5\ \text{ч},$

   что соответствует варианту 2.

6. 6

   Проверим соответствие условиям задачи. Мотоциклист едет со скоростью $60\ \text{км/ч}$ и тратит $30/60=0.5$ ч; велосипедист — $1.5$ ч. Разница во времени ровно час, а разница скоростей $40\ \text{км/ч}$ — всё верно.