Квадратичная функция f удовлетворяет условию f(x) ≤ 0 ровно на промежутке −1 ≤ x ≤ 5, а её наименьшее значение равно −18. Решите неравенство f(x) ≤ 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Считаем корни и направление ветвей прямо с множества решений. Неравенство $f(x)\le0$ выполняется ровно на замкнутом ограниченном промежутке, значит $f$ обращается в нуль на его концах и отрицательна строго между ними. Следовательно, $-1$ и $5$ — это два корня, а ветви параболы направлены вверх (если бы они смотрели вниз, решением $f\le0$ были бы два внешних луча). Поэтому

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

2. 2

   Найдём вершину по симметрии, не выделяя полный квадрат. У параболы с ветвями вверх минимум достигается посередине между корнями:

   $x_{\text{вершины}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   Только в этой точке и может достигаться указанное наименьшее значение.

3. 3

   Превратим значение минимума в уравнение для $a$.

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   Проверка знака проходит: $a=2>0$, что согласуется с направлением ветвей вверх из шага 1. Итак,

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

4. 4

   Решаем неравенство $f(x)\le 6$. Перенесём всё в одну сторону и разделим на положительный старший коэффициент (деление на положительное число знак неравенства не меняет):

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

5. 5

   Найдём корни граничного уравнения и выберем нужную сторону.

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   Поскольку у трёхчлена $x^2-4x-8$ ветви направлены вверх, он принимает значения $\le0$ между своими корнями:

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{приблизительно }-1.464\le x\le5.464).$

6. 6

   Сверим ответ с исходными данными. Новый промежуток симметричен относительно $x=2$ — той же оси симметрии — и строго содержит $[-1,5]$; иначе и быть не могло, ведь уровень $6$ лежит выше уровня $0$ у параболы с ветвями вверх. Подставим конец промежутка: $f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$ — ровно граничное значение.