Решите 3.68x³ + 92.3x² – 500 = 0. Найдите все три действительных корня с точностью до четырёх знаков после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Обращаем внимание на отсутствие линейного члена и рациональных корней. В многочлене $f(x)=3.68x^{3}+92.3x^{2}-500$ отсутствует слагаемое с $x$, а десятичные коэффициенты исключают аккуратный рациональный корень. Следовательно, корни придётся искать численно — но сначала выясним, сколько их всего.

2. 2

   Проверяем смену знака на широком интервале. Подставляя значения $x$ от $-40$ до $20$ с небольшим шагом, фиксируем три смены знака функции — вблизи $x=-24.86$, $x=-2.45$ и $x=2.23$. Кубическое уравнение не может иметь больше трёх действительных корней, значит, все три корня действительны и комплексных нет. Если бы исследовали только отрезок $[0,3]$ — где $f(2)=-101.36$, а $f(2.5)=+134.375$ — нашли бы лишь один из них.

3. 3

   Уточняем корни методом бисекции. Последовательно деля каждый интервал пополам до достижения $|f|<10^{-9}$, получаем:

   $x_{1}\approx-24.861705,\qquad x_{2}\approx-2.450227,\qquad x_{3}\approx 2.230411.$

   Существенно отрицательный корень объясняется тем, что слагаемое $92.3x^{2}$ доминирует до $x\approx-25$, где кубический член становится значимым — этот корень легко пропустить без широкого поиска.

4. 4

   Проверяем по формулам Виета. Для $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ корни удовлетворяют $\sum x_{i}=-\tfrac{b}{a}$ и $\prod x_{i}=-\tfrac{d}{a}$:

   $-24.861705-2.450227+2.230411=-25.081522=-\frac{92.3}{3.68} \;✓,$

   $(-24.861705)(-2.450227)(2.230411)=135.8695\approx\frac{500}{3.68} \;✓.$

   Это решающая проверка: если сумма тройки корней не равна $-25.0815$, ответ неверен, как бы ни выглядели отдельные значения.

5. 5

   Проверяем подстановкой. $f(-24.861705)=4.5\times10^{-4}$, $f(-2.450227)=-1.6\times10^{-4}$ и $f(2.230411)=5.2\times10^{-5}$ ✓. Округляя до четырёх знаков после запятой, получаем корни $-24.8617$, $-2.4502$ и $2.2304$; обратим внимание: положительный корень $2.2304$, а не $2.2307$, поэтому не стоит указывать лишние знаки после грубой бисекции.