Решить уравнение: (3x − 24) в четвёртой степени, умноженное на 7 в кубе, равно 2, умноженному на 7 в четвёртой степени.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим обе части на общую степень семёрки. $(3x-24)^4 = \frac{2\cdot 7^4}{7^3} = 2\cdot 7^{4-3} = 2\cdot 7 = 14.$ Сокращение на $7^3$ в самом начале избавляет от вычисления $7^4 = 2401$.

2. 2

   Выясним, является ли 14 точной четвёртой степенью. Четвёртые степени небольших целых чисел — это $1, 16, 81, 256,\ldots$, и $14$ среди них нет. Значит, целого (и даже рационального) значения $3x-24$ не существует, а в натуральных числах уравнение решений не имеет.

3. 3

   Извлечём корень четвёртой степени в действительных числах. У корня чётной степени две действительные ветви: $3x-24 = \pm\sqrt[4]{14} = \pm 1.9343364.$ Остальные два корня четвёртой степени из $14$ чисто мнимые и для действительного ответа отбрасываются.

4. 4

   Решим каждую ветвь. $3x = 24\pm 1.9343364 \quad\Longrightarrow\quad x = 8\pm\frac{\sqrt[4]{14}}{3},$ откуда $x \approx 8.6447788$ или $x \approx 7.3552212$.

5. 5

   Проверим один из корней. При $x=8.6447788$ имеем $3x-24 = 1.9343364$ и $(1.9343364)^4 = 14.0000$; умножая на $7^3=343$, получаем $4802 = 2\cdot2401 = 2\cdot7^4$. Верно.

6. 6

   Сформулируем ответ на нужном уровне. Для школьного задания, где ожидают целые числа, ответ — «решений нет»; над действительными числами это симметричная пара $8\pm\tfrac{\sqrt[4]{14}}{3}$ с центром в $x=8$, поскольку $3x-24 = 3(x-8)$.