Решить уравнение |-6 + 4x| = |10 + x|.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала приведём каждый модуль к привычному виду. Перестановка слагаемых под знаком модуля ничего не меняет: $|-6+4x| = |4x-6|$ и $|10+x| = |x+10|$. Уравнение принимает вид

   $|4x - 6| = |x + 10|$

   В такой записи два линейных выражения удобно сравнивать.

2. 2

   Применяем правило для равенства двух модулей. Возведение в квадрат даёт $A^2 = B^2$, то есть $(A-B)(A+B) = 0$. Значит, равенство $|A| = |B|$ равносильно ровно двум линейным вариантам:

   $A = B \quad \text{или} \quad A = -B$

   Именно поэтому здесь нужны два случая, а не четыре, которые получились бы при независимом раскрытии каждого модуля.

3. 3

   Случай 1: подмодульные выражения равны.

   $4x - 6 = x + 10$

   $3x = 16 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{16}{3}$

4. 4

   Случай 2: подмодульные выражения противоположны.

   $4x - 6 = -(x + 10) = -x - 10$

   $5x = -4 \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{4}{5}$

5. 5

   Проверяем оба кандидата в исходном уравнении. Возведение в квадрат может добавить посторонние корни, поэтому подстановка обязательна. При $x = \tfrac{16}{3}$:

   $\left|-6 + \tfrac{64}{3}\right| = \tfrac{46}{3}, \qquad \left|10 + \tfrac{16}{3}\right| = \tfrac{46}{3}$

   При $x = -\tfrac45$:

   $\left|-6 - \tfrac{16}{5}\right| = \tfrac{46}{5}, \qquad \left|10 - \tfrac45\right| = \tfrac{46}{5}$

   Обе части совпали, значит посторонних корней нет.

6. 6

   Записываем множество решений. Уравнению удовлетворяют два различных значения:

   $x = \frac{16}{3} \quad \text{или} \quad x = -\frac{4}{5}$

   Геометрически это две точки пересечения графиков-«галочек» $y = |4x-6|$ и $y = |x+10|$.