Найти Vout из уравнения 1.2777 + 1.1837 × 0.999Vout × 0.000288 × (284365 + (0.999Vout)² / 2) − 1.182677 × Vout × 0.000288 × (285105 + Vout² / 2) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Разглядим структуру: это кубическое уравнение относительно Vout. Каждая скобка даёт постоянное слагаемое и слагаемое с $V^2$, и каждая умножается на $V$, поэтому уравнение имеет вид $A + BV + CV^3 = 0$ без члена с $V^2$. Общая формула для кубического уравнения не нужна — всё решают сами числа.

2. 2

   Соберём коэффициенты первой группы точно. $1.1837 \times 0.999 \times 0.000288 = 0.0003405646944$ (а не $0.00034074$ — держим все знаки). Умножая на скобку, получаем линейную часть $0.0003405646944 \times 284365 = 96.844679323$ и кубическую часть $0.0003405646944 \times \tfrac{0.999^2}{2} = 0.000169941953$.

3. 3

   Соберём коэффициенты второй группы. $1.182677\times0.000288 = 0.000340610976$, откуда линейная часть равна $0.000340610976\times285105 = 97.109892312$, а кубическая — $\tfrac{0.000340610976}{2} = 0.000170305488$.

4. 4

   Вычтем — и отнесёмся к сокращению со всей серьёзностью. $B = 96.844679323-97.109892312 = -0.265212989,\qquad C = 0.000169941953-0.000170305488 = -3.635352\times10^{-7}.$ Обе разности — катастрофическая потеря точности: $B$ теряет три значащие цифры, $C$ — четыре, так что округление любого из сомножителей до шести цифр разрушило бы ответ. Единственный безопасный путь здесь — работать с точными дробями.

5. 5

   Решим полученное кубическое уравнение. $1.2777-0.265212989\,V-3.635352\times10^{-7}V^3 = 0.$ Вблизи корня кубическое слагаемое пренебрежимо мало, поэтому линейная оценка даёт $V\approx\tfrac{1.2777}{0.265213}=4.81764$; одна поправка по Ньютону (или деление пополам на $[0,20]$) приводит к $V_{out} \approx 4.81748.$

6. 6

   Проверим и оценим чувствительность. При $V=4.81748$: $-0.265212989(4.81748) = -1.277658$ и $-3.635352\times10^{-7}(4.81748)^3 = -0.0000406$, а $1.2777-1.277658-0.0000406 \approx 0$. Если округлить первое произведение до $0.00034074$ — ровно тот промах, о котором предупреждает шаг 1, — то $B=-0.215362$ и ответ получится $V\approx5.9328$, ошибка в $23\%$; именно поэтому сокращение надо обрабатывать точно.