Улитка ползёт от одного дерева к другому, каждый день проходя на одинаковую величину больше, чем в предыдущий. В первый и последний дни вместе она проползла 10 метров. Расстояние между деревьями 150 метров. За сколько дней улитка преодолела путь?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид последовательности. Условие «каждый день на одинаковую величину больше» означает, что пройденные за день расстояния $a_1, a_2, \ldots, a_n$ образуют арифметическую прогрессию. Общая длина пути — это сумма этой прогрессии, и по условию она равна $150$ м.

2. 2

   Выберем подходящую формулу суммы. Стандартные формулы:

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{и}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

   В задаче сразу дано $a_1+a_n=10$, поэтому удобно использовать первую формулу — она не требует знать ни $a_1$, ни разность $d$. Это и делает задачу решаемой по столь скудным данным.

3. 3

   Подставим значения.

   $150=\frac{10}{2}\cdot n=5n$

4. 4

   Вычислим $n$.

   $n=\frac{150}{5}=30$

   $\boxed{30\ \text{дней}}$

5. 5

   Проверим на конкретном примере. Любая арифметическая прогрессия с $a_1+a_{30}=10$ подойдёт — например, $a_1=1$, $a_{30}=9$, тогда $d=\tfrac{9-1}{29}=\tfrac{8}{29}$. Сумма: $\tfrac{1+9}{2}\cdot 30=150$ м — всё верно. Конкретные дневные расстояния не определяются, но число дней однозначно, так как формула суммы зависит только от пары $a_1+a_n$.