Решить уравнение x² − 2√3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим свободный член в правую часть. Он оказался иррациональным, но на ход преобразований это никак не влияет:

   $x^2=2\sqrt{3}$

2. 2

   Проверяем знак правой части. $2\sqrt3\approx 3.4641>0$, поэтому действительные решения существуют. (Будь константа отрицательной, $x^2$ пришлось бы сделать отрицательным, и действительных корней не нашлось бы.)

3. 3

   Извлекаем корень, сохраняя оба знака.

   $x=\pm\sqrt{2\sqrt{3}}$

4. 4

   Переписываем вложенный радикал через дробные показатели. Это самая аккуратная точная форма записи:

   $\sqrt{2\sqrt3}=\left(2\cdot 3^{1/2}\right)^{1/2}=2^{1/2}\,3^{1/4}=\sqrt{2}\,\sqrt[4]{3}$

   Численно $\sqrt2\approx 1.41421$ и $\sqrt[4]3\approx 1.31607$, откуда $x\approx\pm 1.8612$.

5. 5

   Проверяем возведением в квадрат. $1.8612^2\approx 3.4641$ и $2\sqrt3\approx 3.4641$ $\checkmark$. Корни в точности противоположны — как и всегда для уравнения вида $x^2=k$.