С помощью правила умножения корней упростите выражение: квадратный корень из 405x².

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём наибольший квадратный делитель числа 405. Последовательным делением получаем $405=5\cdot 81$, и $81=9^{2}$ — наибольший полный квадрат, на который оно делится. Значит, $\sqrt{405x^{2}}=\sqrt{81\cdot 5\cdot x^{2}} .$

2. 2

   Разобьём корень по правилу умножения. Так как $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ для неотрицательных множителей, $\sqrt{81\cdot 5\cdot x^{2}}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{x^{2}} .$

3. 3

   Вычислим числовой корень. $\sqrt{81}=9 .$

4. 4

   Аккуратно разберёмся с буквенной частью. При чётном показателе корня $\sqrt{x^{2}}=|x|$, а не $x$: если бы $x$ был отрицательным, то без знака модуля получилось бы отрицательное значение у величины, которая обязана быть неотрицательной. Поэтому переменная даёт вклад $|x|$.

5. 5

   Соберём ответ и проверим его на отрицательном значении. $\sqrt{405x^{2}}=9|x|\sqrt5 .$ При $x=-1$ исходное выражение равно $\sqrt{405}\approx 20.12$, и ответ даёт $9\cdot 1\cdot\sqrt5\approx 20.12$, тогда как $9x\sqrt5$ ошибочно дал бы $-20.12$.