Даны две конечные арифметические прогрессии: 2, 5, 8, 11, ... до 1000-го члена и -1, 6, 13, 20, ... до 1000-го члена. Сколько чисел встречается в обеих?

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выразим каждую прогрессию с помощью сравнения по модулю. Для $(a_n)$ разность $d=3$, первый член $2$, значит, члены имеют вид $x \equiv 2 \pmod 3$ в соответствующем диапазоне. Для $(b_n)$ разность $d=7$, первый член $-1$, то есть члены имеют вид $x \equiv -1 \equiv 6 \pmod 7$.

2. 2

   Вычислим последний член каждой прогрессии: $a_{1000}=2+999\cdot 3=2999,\qquad b_{1000}=-1+999\cdot 7=6992$ Значит, совпадающие члены могут быть только в диапазоне $[2,\;2999]$, то есть по меньшему из двух.

3. 3

   Рассмотрим систему сравнений: требуется $x \equiv 2 \pmod 3$ и $x \equiv 6 \pmod 7$. Подставляя $x=6,13,20$ в первое сравнение, видно, что $20=3\cdot 6+2$ подходит. По китайской теореме об остатках получаем $x \equiv 20 \pmod{21}$ (модуль — $\operatorname{lcm}(3,7)=21$).

4. 4

   Посчитаем количество решений в нужном диапазоне. Общие члены имеют вид $20,41,62,\dots\le 2999$, то есть это арифметическая прогрессия с разностью $21$: $\left\lfloor\frac{2999-20}{21}\right\rfloor+1=\left\lfloor\frac{2979}{21}\right\rfloor+1=141+1=142$

5. 5

   Проверяя пересечение двух 1000-элементных множеств напрямую, также получаем $142$ общих числа. Значит, ответ — C.