Решить уравнение x − 1/x = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Отметим ограничение области определения до умножения. Слагаемое $\tfrac1x$ требует $x\neq0$. Записать это сразу важно: умножение на $x$ обратимо только при $x\neq0$, и любой корень, оказавшийся равным $0$, пришлось бы отбросить как посторонний.

2. 2

   Избавимся от знаменателя. Умножим каждое слагаемое на $x$:

   $x\cdot x-x\cdot\frac{1}{x}=3x\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}-1=3x$

   Среднее слагаемое превращается ровно в $-1$, так как $x\cdot\tfrac1x=1$. Умножать нужно каждое слагаемое, включая $3$ в правой части.

3. 3

   Приведём к стандартному виду. Вычтем $3x$ из обеих частей:

   $x^{2}-3x-1=0$

   отсюда $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

4. 4

   Применим формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

   Дискриминант $13$ положителен, но не является точным квадратом, поэтому корней два, они различны и иррациональны, а целочисленного разложения на множители не существует.

5. 5

   Убедимся, что ни один корень не выпадает из области определения. Численно $x\approx3.3028$ и $x\approx-0.3028$; ни один из них не равен $0$, поэтому оба проходят ограничение. Подстановка каждого в исходное выражение $x-\tfrac1x$ даёт $3$ с точностью до $10^{-12}$ ✓ — именно проверка по исходному, а не по преобразованному уравнению и выявляет посторонние корни.

6. 6

   Подтвердим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a=3$: $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}=3$ ✓. Произведение должно равняться $c/a=-1$: $\dfrac{9-13}{4}=-1$ ✓. Произведение, равное $-1$, означает также, что корни взаимно обратны с точностью до знака — это изящное следствие структуры $x-\tfrac1x$ исходного уравнения.