Найдите область определения функции f(x) = 1 / √(x + 2). Ответ дайте в интервальной записи.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала перечислим все ограничения, которые накладывает формула, а не только самое очевидное. Здесь одновременно действуют два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель не должен обращаться в ноль. Оба условия должны выполняться одновременно.

2. 2

   Запишем условие существования квадратного корня. Чтобы $\sqrt{x+2}$ было определено на множестве действительных чисел,

   $x+2\geq 0$

   Это неравенство само по себе допускает $x=-2$.

3. 3

   Запишем условие для знаменателя. В знаменателе стоит $\sqrt{x+2}$, а дробь не определена при нулевом знаменателе, значит

   $\sqrt{x+2}\neq 0\quad\Longleftrightarrow\quad x+2\neq 0$

   Именно это условие исключает $x=-2$.

4. 4

   Объединим оба условия в одно строгое неравенство. Требование $x+2\geq 0$ и $x+2\neq 0$ одновременно приводит к

   $x+2>0\quad\Longrightarrow\quad x>-2$

5. 5

   Запишем ответ в интервальной записи и проверим граничное значение. Множество $x>-2$ — это

   $(-2,\infty)$

   Скобка у $-2$ обязательно открытая: при $x=-2$ формула превращается в $1/\sqrt{0}=1/0$, что не определено, а при $x=-1{,}99$ получаем $1/\sqrt{0{,}01}=10$ — вполне допустимое значение. Значит, область начинается сразу справа от $-2$ и продолжается до бесконечности.