Решить неравенство −4x² + 260x − 200 ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Делим на отрицательный старший коэффициент и меняем знак неравенства. Деление всех слагаемых на $-4$ делает старший коэффициент единичным, но, поскольку $-4<0$, знак неравенства переворачивается:

   $-4x^2+260x-200\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-65x+50\ge 0$

   Это самый «ошибкоопасный» шаг; равноценная альтернатива — оставить исходную параболу ветвями вниз и рассуждать о том, где она «не выше оси».

2. 2

   Находим корни приведённого квадратного трёхчлена. При $a=1$, $b=-65$, $c=50$

   $\Delta=(-65)^2-4(50)=4225-200=4025$

   и $4025=25\cdot 161$, поэтому $\sqrt{4025}=5\sqrt{161}$ (число $161=7\cdot 23$ свободно от квадратов, так что упрощать дальше некуда).

3. 3

   Выписываем корни точно.

   $x=\frac{65\pm 5\sqrt{161}}{2}$

   Так как $5\sqrt{161}\approx 63.4429$, корни приближённо равны $0.7786$ и $64.2214$.

4. 4

   Выбираем нужную область по направлению ветвей. Парабола $x^2-65x+50$ ветвями направлена вверх, поэтому она $\ge 0$ вне двух корней и отрицательна строго между ними:

   $x\le \frac{65-5\sqrt{161}}{2}\qquad\text{или}\qquad x\ge \frac{65+5\sqrt{161}}{2}$

5. 5

   Включаем границы и проверяем ответ. Неравенство нестрогое, поэтому оба корня входят в множество решений (в них исходное выражение равно $0$). Проверка: при $x=0.5$ исходное выражение равно $-71\le 0$ ✓; при $x=1$ оно равно $+56$, условие не выполняется, и середина справедливо исключена; при $x=65$ получаем $-200\le 0$ ✓.