Решите √(4 + 2x − x²) = x − 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем условие знака перед возведением в квадрат. Квадратный корень из действительного числа неотрицателен, поэтому правая часть должна удовлетворять неравенству

   $x-2\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 2$

   Фиксация этого условия заранее позволяет впоследствии отбросить посторонние корни, появляющиеся при возведении в квадрат.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат. Возведение в квадрат не является обратимой операцией, поэтому могут появиться посторонние корни — именно для этого и записывалось условие в первом шаге:

   $4+2x-x^{2}=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$

3. 3

   Переносим всё в одну часть и раскладываем на множители.

   $4+2x-x^{2}-x^{2}+4x-4=0\quad\Longrightarrow\quad 6x-2x^{2}=0$

   $2x(3-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{или}\ x=3$

4. 4

   Проверим найденные значения на выполнение условия $x\ge2$. Значение $x=0$ не удовлетворяет этому условию. Подстановка показывает, почему: левая часть равна $\sqrt{4}=2$, а правая — $0-2=-2$, то есть $2=-2$ — неверно. Это посторонний корень, появившийся после возведения в квадрат.

5. 5

   Проверим оставшийся корень в исходном уравнении. При $x=3$ подкоренное выражение равно $4+6-9=1$, значит, левая часть — $\sqrt{1}=1$; правая часть — $3-2=1$. Оба значения равны $1$, следовательно, $x=3$ — действительный корень.

6. 6

   Запишем окончательный ответ.

   $x=3$