Решите уравнение x³ − 15x² + 75x − 125 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сверяем коэффициенты с формулой куба разности. Раскрывая шаблон, получаем

   $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$

   По коэффициенту при $x^2$: $-3a=-15$, откуда $a=5$. Теперь оба оставшихся коэффициента обязаны совпасть — и они совпадают: $3a^2=75$ ✓ и $-a^3=-125$ ✓. Именно все три совпадения и дают право применить формулу: если бы хоть одно не сошлось, многочлен не был бы полным кубом.

2. 2

   Переписываем уравнение.

   $x^3-15x^2+75x-125=(x-5)^3=0$

3. 3

   Решаем уравнение с кубом. Куб равен нулю только тогда, когда равно нулю само основание, поэтому

   $x-5=0\quad\Rightarrow\quad x=5$

4. 4

   Отмечаем кратность. Множитель $(x-5)$ встречается трижды, значит $x=5$ — трёхкратный корень. У кубического уравнения три корня с учётом кратности, и здесь все три совпали: других вещественных корней нет, комплексных тоже.

5. 5

   Проверяем и читаем геометрию. Подстановка: $125-375+375-125=0$ ✓. Кроме того, $f'(x)=3x^2-30x+75=3(x-5)^2$ и $f''(x)=6x-30$, поэтому $f'(5)=0$ и $f''(5)=0$. Значит, график полностью выполаживается в точке $x=5$ перед пересечением оси — визуальный признак трёхкратного корня.