Выполните вычитание многочленов и укажите степень результата: (10x⁴y² − 11x³y − 3y) − (9x⁴y² + 4x³y + 11y − 8x).

Step-by-step solution

1. 1

   Раскрываем минус перед скобкой, меняя знак у всех четырёх слагаемых. Каждый знак внутри второй скобки меняется на противоположный, включая $-8x$, который превращается в $+8x$. Именно на нём ошибаются чаще всего, ведь он уже был отрицательным:

   $10x^{4}y^{2}-11x^{3}y-3y-9x^{4}y^{2}-4x^{3}y-11y+8x$

2. 2

   Отыскиваем подобные слагаемые в двух переменных. Слагаемые подобны, только когда совпадают оба показателя, поэтому $x^{4}y^{2}$ сочетается лишь с $x^{4}y^{2}$, а $x^{3}y$ — лишь с $x^{3}y$. Слагаемые с $y$ подобны друг другу, а у $8x$ пары нет вовсе.

3. 3

   Приводим подобные.

   $10x^{4}y^{2}-9x^{4}y^{2}=x^{4}y^{2}$
   $-11x^{3}y-4x^{3}y=-15x^{3}y$
   $-3y-11y=-14y$

   а одинокое слагаемое $8x$ переходит без изменений, и получается

   $x^{4}y^{2}-15x^{3}y-14y+8x$

4. 4

   Находим степень, складывая показатели внутри каждого одночлена. У многочлена от нескольких переменных степень одночлена — это сумма его показателей, а степень многочлена — наибольшая из таких сумм:

   $x^{4}y^{2}:\ 4+2=6,\qquad -15x^{3}y:\ 3+1=4,\qquad -14y:\ 1,\qquad 8x:\ 1$

   Наибольшая сумма равна $6$.

5. 5

   Записываем ответ и проверяем численно. Разность равна $x^{4}y^{2}-15x^{3}y-14y+8x$, её степень $6$. Подстановка $(x,y)=(1.3,0.7)$ в исходное выражение даёт $-21.069011$, и упрощённая форма даёт то же самое $-21.069011$; в точке $(2,-1.5)$ обе записи дают ровно $253$. Две независимые пробные точки подтверждают каждый коэффициент.