Найдите точки пересечения прямой y = -4x + 2,5 и кривой y = 3,34x/(1 + 2,34x).

Step-by-step solution

1. 1

   Приравняем оба выражения для $y$. В точке пересечения обе формулы дают одну и ту же ординату, поэтому

   $-4x+2.5=\frac{3.34x}{1+2.34x}.$

   Запишем ограничение: $x\ne-\frac{1}{2.34}\approx-0.4274$, так как при этом значении у дробно-рациональной функции вертикальная асимптота — если корень окажется здесь, его нужно будет отбросить.

2. 2

   Избавимся от знаменателя. Умножим обе части на $1+2.34x$:

   $(-4x+2.5)(1+2.34x)=3.34x.$

   Раскроем скобки по членам:

   $-4x-9.36x^{2}+2.5+5.85x=-9.36x^{2}+1.85x+2.5.$

   Перемножая: $-4x\cdot2.34x=-9.36x^{2}$ и $2.5\cdot2.34x=5.85x$; складываем $-4x+5.85x$ и получаем $1.85x$.

3. 3

   Соберём в стандартное квадратное уравнение. Перенесём $3.34x$ влево:

   $-9.36x^{2}+1.85x-3.34x+2.5=0\;\Longrightarrow\;-9.36x^{2}-1.49x+2.5=0,$

   и умножим обе части на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным:

   $9.36x^{2}+1.49x-2.5=0.$

4. 4

   Применим формулу корней квадратного уравнения. Здесь $a=9.36$, $b=1.49$, $c=-2.5$:

   $\Delta=1.49^{2}-4(9.36)(-2.5)=2.2201+93.6=95.8201,\qquad\sqrt{\Delta}=9.788774,$

   $x=\frac{-1.49\pm9.788774}{18.72}\ \Longrightarrow\ x\approx0.4433106\ \text{или}\ x\approx-0.6024986.$

   Ни один из корней не совпадает с запрещённым значением $-0.4274$, значит, оба решения подходят.

5. 5

   Находим значения $y$ и подставляем их в дробно-рациональное уравнение для проверки. Используем прямую: $y=-4x+2.5$:

   $x=0.4433106\Rightarrow y=0.726758,\qquad x=-0.6024986\Rightarrow y=4.909994.$

   Подставим в кривую: $\frac{3.34(0.4433106)}{1+2.34(0.4433106)}=0.726758$ ✓ и $\frac{3.34(-0.6024986)}{1+2.34(-0.6024986)}=4.909994$ ✓. Проверка проводится по другому уравнению, а не по тому, через которое считалось $y$ — это и есть настоящее подтверждение.