Найдите все значения постоянной k, при которых уравнение x^2 - (2k - 1)x + 1 = 0 имеет один корень на интервале (0, 1), а второй — на интервале (2, 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим условие о расположении корней в условия на знаки, а не в дискриминант. Пусть $f(x)=x^2-(2k-1)x+1$. Парабола ветвями вверх, поэтому функция отрицательна ровно между своими корнями. Требование «один корень строго внутри $(0,1)$, другой строго внутри $(2,3)$» равносильно четырём условиям на знаки

   $f(0)>0,\qquad f(1)<0,\qquad f(2)<0,\qquad f(3)>0.$

   Каждая строгая смена знака заставляет корень попасть между двумя соседними контрольными точками, а четыре такие точки с картиной $+,-,-,+$ запирают ровно один корень в $(0,1)$ и один в $(2,3)$. Условие на дискриминант получается даром — смена знака уже гарантирует вещественные корни.

2. 2

   Вычисляем $f$ в четырёх контрольных точках.

   $f(0)=1$

   $f(1)=1-(2k-1)+1=3-2k$

   $f(2)=4-2(2k-1)+1=7-4k$

   $f(3)=9-3(2k-1)+1=13-6k$

3. 3

   Накладываем условия по очереди.

   $f(0)=1>0\quad\text{— выполнено автоматически при любом }k.$

   $f(1)=3-2k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac32$

   $f(2)=7-4k<0\;\Longrightarrow\;k>\frac74$

   $f(3)=13-6k>0\;\Longrightarrow\;k<\frac{13}{6}$

4. 4

   Пересекаем ограничения. Так как $\tfrac74>\tfrac32$, условие из $f(1)$ поглощается условием из $f(2)$, и остаётся

   $\frac74<k<\frac{13}{6}.$

5. 5

   Проверяем независимым рассуждением через произведение корней. По теореме Виета произведение корней равно $1$, значит корни взаимно обратны: $r$ и $1/r$. Если $r\in(2,3)$, то автоматически $1/r\in\left(\tfrac13,\tfrac12\right)\subset(0,1)$ — условие на меньший корень не несёт дополнительной информации, ровно как и показала алгебра. Сумма даёт

   $r+\frac1r=2k-1\;\Longrightarrow\;k=\frac12\left(r+\frac1r+1\right),$

   а $r+\tfrac1r$ возрастает при $r>1$, поэтому, когда $r$ пробегает $(2,3)$, величина $k$ пробегает $\left(\tfrac12\left(\tfrac52+1\right),\tfrac12\left(\tfrac{10}{3}+1\right)\right)=\left(\tfrac74,\tfrac{13}{6}\right)$ — тот же самый промежуток.

6. 6

   Проверяем одно значение внутри и одно чуть снаружи. При $k=2$: уравнение $x^2-3x+1=0$ даёт корни $0.382$ и $2.618$ — по одному в каждом интервале, как и требовалось. При $k=2.2$ (чуть больше $13/6\approx2.1667$): корни $0.325$ и $3.075$, больший корень выскочил за $3$, что подтверждает правую границу.