Разложите x² + 2x – 8y – 3xy – 4y² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Расположим слагаемые по общей степени. Три слагаемых имеют степень два по $x$ и $y$, два — степень один:

   $\underbrace{x^2-3xy-4y^2}_{\text{степень }2}+\underbrace{2x-8y}_{\text{степень }1}$

   Именно такая группировка позволяет увидеть структуру: если выражение раскладывается на две скобки, то старшие части этих скобок должны давать однородную часть степени 2.

2. 2

   Разложим однородную квадратичную часть. Рассмотрим её как квадратный трёхчлен по $x$, где $y$ — как коэффициент: нужно подобрать такие слагаемые, чтобы их произведение было $-4y^2$, а сумма — $-3y$. Это $-4y$ и $+y$:

   $x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)$

3. 3

   Разложим линейную часть и ищем общий множитель.

   $2x-8y=2(x-4y)$

   Множитель $(x-4y)$ встречается и в квадратичной, и в линейной части — это признак, что всё выражение раскладывается, и подсказывает, какая из скобок будет общей.

4. 4

   Выносим общий множитель $(x-4y)$.

   $(x-4y)(x+y)+2(x-4y)=(x-4y)\bigl[(x+y)+2\bigr]=(x-4y)(x+y+2)$

5. 5

   Проверим обратным раскрытием скобок и подстановкой чисел. Раскрывая: $(x-4y)(x+y+2)=x^2+xy+2x-4xy-4y^2-8y=x^2-3xy+2x-4y^2-8y$ — совпадает с исходным выражением (после перестановки слагаемых). Подставим $x=3$, $y=1$: исходное $9+6-8-9-4=-6$, а $(3-4)(3+1+2)=(-1)(6)=-6$ — всё верно.