Докажите, что уравнение x² + ax + a - 2 = 0 имеет два различных вещественных корня при любом действительном a.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним, что определяет число вещественных корней. Для $Ax^2+Bx+C=0$ при $A\neq 0$ дискриминант

   $\Delta=B^{2}-4AC$

   решает всё: $\Delta>0$ — два различных вещественных корня, $\Delta=0$ — корни совпадают, $\Delta<0$ — вещественных корней нет. Значит, вся задача сводится к доказательству $\Delta>0$ для любого $a$.

2. 2

   Определим коэффициенты. Важно не перепутать — буква $a$ здесь параметр, а не старший коэффициент:

   $A=1,\qquad B=a,\qquad C=a-2.$

3. 3

   Вычислим дискриминант как функцию от a.

   $\Delta=a^{2}-4(1)(a-2)=a^{2}-4a+8.$

4. 4

   Дополнить до квадрата, чтобы явно увидеть знак. Половина от $-4$ — это $-2$, а $(-2)^2=4$:

   $\Delta=\left(a^{2}-4a+4\right)+4=(a-2)^{2}+4.$

   Проверим раскрытием скобок: $a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$, то есть преобразование верно.

5. 5

   Делаем вывод. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит $(a-2)^2\ge 0$, а значит

   $\Delta=(a-2)^{2}+4\ge 4>0$

   при любом действительном $a$. Дискриминант строго положителен — причём даже ограничен снизу — значит, уравнение всегда имеет два различных вещественных корня.

6. 6

   Отметим, где достигается минимум. Наименьшее значение дискриминанта, $\Delta=4$, получается при $a=2$, тогда уравнение принимает вид $x^2+2x+0=0$, его корни $x=0$ и $x=-2$: корни различны, как и требовалось.